Un paseo matemático por la Alhambra: cuando el arte se basa en los números

A ojos de alguien no-experto en matemáticas, el arco que encabeza estas líneas puede transmitir una gran armonía, pero resultaría difícil explicar el por qué. La causa de esa armonía está en las matemáticas empleadas para su diseño, para una composición extraordinariamente calculada.

Este arco en concreto es el arco del mihrab islámico cordobés del granadino palacio de la Madraza, un lugar que indica hacia qué dirección se debe rezar según la religión musulmana. Si nos fijamos, los arcos interior y exterior no son concéntricos, es decir, no comparten el mismo eje. El arco interior está elevado R/2 por encima del eje de impostas, y el arco exterior elevado un R/5.

Las líneas que determinan las dovelas que hay entre los arcos se cortan todas en el mismo punto, que resulta ser el punto medio de la línea de impostas. Este tipo de arcos se suele usar en lugares especialmente importantes.

Todo esto nos lo explican Joaquín Valderrama y Francisco Fernández, dos profesores de matemáticas que ya se han jubilado pero no han abandonado la docencia. Al menos, a su manera: hacían visitas guiadas por la Alhambra de su Granada natal -también por otros lugares a los que pueden acompañar de explicaciones matemáticas- para niños y mayores, profesores incluidos.

Hacen pedagogía sobre la cara quizás menos evidente del arte que encontramos en la ciudad palatina de la capital nazarí: durante nuestra visita, en un recorrido que dura toda una mañana, no dejamos de pararnos prácticamente en cada esquina para que nos expliquen aquello que no es evidente, pero que da sentido a todo el lugar: fórmulas, algoritmos, patrones y proporciones. Y además, ayudándonos a descubrirlo por nosotros mismos.

El rectángulo: una de las formas geométricas más usadas en el arte islámico y en la Alhambra

El rectángulo es una de las proporciones más usadas en la decoración musulmana, y por ende en el Islam, pero no un rectángulo cualquiera sino el de la raíz cuadrada de 2 (√2). ¿Por qué es tan especial?

√2 es un número irracional, el resultado de √2 es 1,41421356… Es decir, un número que nunca acaba. A priori no parece algo manejable para realizar cálculos, pero como nos explican Joaquín y Francisco, es una proporción muy fácil de usar geométricamente.

El rectángulo √2 se construye de forma muy sencilla: de un cuadrado sobre un lado se dibuja la diagonal, se abate sobre uno de los dos lados y trazando las paralelas se obtiene el rectángulo √2.

Una forma más fácil de entenderlo es con un folio estándar DIN A4, que se hizo (como todos los tamaños DIN, A3, A2, etc) siguiendo esta proporción.

Si dividimos el lado grande por el lado pequeño del A4, el resultado será 1,4142135… es decir, √2. En mano y geométricamente, esto se puede comprobar rápidamente acordándonos del teorema de Pitágoras, que nos dice que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Si hacemos un cuadrado con nuestro A4 podemos obtener un triángulo rectángulo. Si cada cateto mide 1, la hipotenusa mide √2. Y una forma rápida de comprobarlo es comparar la hipotenusa con el propio largo del rectángulo del A4.

Efectivamente, si comprobamos la Puerta del Vino, tiene la proporción de un rectángulo √2. Se podría decir que esta entrada de la Alhambra tiene exactamente las mismas proporciones que un DIN A4.

Una proporción que resulta tan especial porque es la única que al doblarse sobre sí misma reproduce exactamente la misma proporción del original. Es decir, si doblamos un A4 obtenemos dos A5 de proporción √2, si un A5 lo volvemos a doblar sobre sí mismo de nuevo obtenemos dos A6 de √2, y así sucesivamente.

Esta proporción es la que consigue un equilibrio exquisito a la hora de aplicarlo a la arquitectura, y en este caso tanto los portones como ventanas de la Alhambra lo cumplen.

El primer lugar de toda la civilización donde se han utilizado los 17 tipos de mosaicos

La Alhambra es el único monumento construido antes del descubrimiento de la Teoría de los Grupos que cuenta con al menos un ejemplo de cada uno de los grupos cristalográficos planos. Existen 17 tipos de mosaicos según esta teoría, los cuales se rigen por cuatro movimientos en el plano: el giro, la simetría, las traslaciones y las simetrías con desplazamiento.

Combinando estos movimientos se generan estos 17 tipos de mosaicos, y la Alhambra los reúne todos. Ningún otro lugar en todo el mundo lo consiguió antes.

Aunque veamos mosaicos muy distintos, es posible que pertenezcan a un mismo grupo cristalográfico, por ello Joaquín y Francisco han utilizado una tabla algorítmica para reconocer cada uno de ellos.

Todas estas variaciones se pueden realizar según estos cuatro movimientos de plano.

Según cómo se forme el motivo mínimo inicial, los giros que se hagan y qué tipos de movimientos sobre plano se ejecuten, podemos crear diversos tipos de mosaicos, como este de la Puerta del Vino.

El mosaico es un elemento que aparece de forma muy común a lo largo de la Alhambra no solo por razones estéticas, sino porque también representa una idea del Islam: como no permite representar gráficamente a su dios de ninguna forma, se recurre a ideas, conceptos o epigrafías.

Un mosaico es una imagen que se repite de forma infinita, un motivo que se va repitiendo hasta ocupar todo el espacio. Representa la idea de un solo dios que está en todas partes, algo único que lo cubre todo, un concepto que entronca con la teoría islámica.

El friso: otro elemento matemático recurrente en la Alhambra

Los frisos funcionan de una forma muy parecida a los mosaicos, solo que la diferencia es que se traslada en una u otra dirección paralela para rellenar todo el plano mediante la traslación del motivo mínimo, en vez de hacerlo en todas las direcciones como ocurre con los mosaicos.

Los frisos se han utilizado como motivo de decoración en dólmenes prehistóricos, decoraciones egipcias, templos griegos... Y también en la Alhambra, donde fueron muy empleados en su decoración.

En geometría existen siete tipos de frisos que se clasifican según el algoritmo de Rose-Stafford, y como ocurre con los mosaicos, los siete están en la Alhambra.

Un oratorio orientado de matemáticamente hacia la Meca

En pleno 2019 los musulmanes pueden usar una aplicación en su smartphone que les indica de forma sencilla hacia dónde deben orientarse para realizar sus oraciones mirando hacia la Meca. Podemos saber gracias a la tecnología que la dirección correcta de orientación desde Granada debe ser 100,4º SE, ¿qué dirección tiene el Oratorio del Mexuar, parte de la Alhambra?

Si lo comprobamos utilizando la planimetría de Google, o el software GeoGebra, podemos ver que se obtiene un azimut de 108,89º ("azimut" se refiere a un ángulo de la orientación sobre la superficie de una esfera real o virtual).

Si la orientación matemática correcta es 100,4º SE y el oratorio se orienta en 108,62º SE, entendemos que tiene una desviación de 8,22º SE, ¿está mal orientado el Mexuar? No realmente. Es más, es uno de los mejor orientados de Al-Ándalus.

Para entrar en contexto debemos saber que Abderramán I (año 786) comienza a construir el oratorio de la Mezquita de Córdoba orientada con un ángulo de 152º SE, es decir, con 51,6º SE de error. La cuestión es que muchas mezquitas posteriores se construyeron teniendo de referencia a la mezquita de Córdoba, por lo que la mayoría de las mezquitas de Al-Ándalus no están orientadas de forma óptima.

Sin embargo, posteriormente empezaron a usarse métodos astronómicos y trigonométricos más precisos para orientar las mezquitas, como la Mayor de Medina Azahara, construida en la época de Abderramán III, en el siglo X. Esa sí fue orientada correctamente. Aconsejado por sus astrónomos, Abderramán III construyó la Medina Azahara con un ángulo aproximado al 108,33º, hecho que posiblemente influyó en que el Mexuar tuviera prácticamente la misma orientación.

Cabe destacar que el mejor orientado de todo Al-Ándalus es el oratorio privado del sultán en el Palacio de Comares, en la Alhambra, con 101º, sin duda combinación de cálculos exactos por parte de sus astrónomos y coordenadas geográficas excepcionalmente precisas.

Si aún te queda curiosidad por conocer más secretos matemáticos de la Alhambra, Joaquín y Francisco, y también su compañero Antonio Fernández, siguen explicando cada día todos los secretos de la Alhambra, tanto en sus paseos como en blog, La Alhambra Matemática.