Un antiguo problema de geometría ha inquietado a los matemáticos durante décadas. Por fin lo han resuelto

Los sólidos de espesor o anchura constante apasionan a algunos matemáticos desde hace décadas. Si nos ceñimos a su geometría estos objetos tridimensionales se caracterizan por tener la misma anchura, entendida como la distancia que existe entre dos de sus lados opuestos, medida desde cualquier dirección. Lo más curioso es que esta peculiar geometría permite a estos cuerpos rodar como una esfera, si, por ejemplo, los colocamos entre dos superficies planas. Pero no son esferas. Y, además, como su anchura es constante la distancia entre las dos superficies planas mientras ruedan entre ellas siempre es la misma.

En el ámbito de la geometría no es fácil entender con cierta precisión de qué estamos hablando si no podemos ir más allá de las palabras. Afortunadamente, la imagen de portada de este artículo ilustra estupendamente qué es un sólido de anchura constante. Por supuesto, el objeto que nos interesa es el de la derecha, y se conoce como triángulo de Reuleaux. Si lo observamos cuando está en reposo cuesta aceptar que sea capaz de rodar como una esfera. Pero sí, rueda. Solo tenemos que aplicarle una fuerza para comprobarlo. Y la razón por la que lo hace es, sencillamente, porque, como hemos visto, tiene el mismo grosor en todas las direcciones.

La pregunta de Oded Schramm lo inició todo

En 1988 Oded Schramm, un estudiante de posgrado en matemáticas de la Universidad de Princeton (EEUU), se preguntó si sería posible construir un cuerpo de anchura constante en cualquier dimensión que sea exponencialmente más pequeño que una esfera. En este contexto es importante que sepamos que una esfera es el objeto de mayor anchura constante en tres dimensiones. La pregunta de Schramm puede parecer artificiosa, e, incluso, irrelevante. Pero no lo es en absoluto. Este es el tipo de preguntas que se hacen los matemáticos, y con frecuencia la respuesta, cuando dan con ella, les entrega un conocimiento que a veces tiene aplicaciones prácticas muy importantes.

Desde entonces han pasado ya más de tres décadas y media, y, por fin, ha llegado la respuesta al interrogante de Oded Schramm. Sus artífices son cuatro matemáticos ucranianos y uno estadounidense. Su investigación en el ámbito de la geometría provocó que sus caminos terminasen cruzándose, y a finales del pasado mes de mayo publicaron un artículo científico en el que han demostrado que la respuesta a la pregunta de Schramm es sí. Sí es posible construir un cuerpo de anchura constante en cualquier dimensión exponencialmente más pequeño que una esfera.

Una vez que hemos llegado a este punto es razonable que nos hagamos dos preguntas. La primera es evidente: ¿qué procedimiento han seguido estos matemáticos para llegar a esta conclusión? Y, lo que es si cabe aún más importante, ¿qué implicaciones tiene este hallazgo en el ámbito de la geometría? En este artículo no vamos a indagar de forma meticulosa en la demostración que han elaborado estos investigadores porque es demasiado complicada, pero esto no significa que no podamos formarnos una idea más o menos certera acerca de cuál ha sido su estrategia.

A grandes rasgos lo que han hecho para responder afirmativamente a la pregunta de Schramm ha sido tomar como punto de partida el triángulo de Reuleaux en dos dimensiones. El algoritmo que permite construir desde un punto de vista geométrico este cuerpo se puede utilizar para llegar a sólidos de anchura constante en dimensiones superiores. El problema es que cada vez es mucho más difícil construir este objeto porque a medida que aumenta el número de dimensiones la diferencia entre los volúmenes de los cuerpos de anchura constante más pequeños y más grandes crece exponencialmente. Las matemáticas que sostienen todo este esqueleto son complicadas, pero estas son las ideas que les han permitido encontrar la respuesta a la pregunta que formuló Schramm a finales de los 80.

En cualquier caso, es incluso más interesante averiguar qué posibles implicaciones tiene el trabajo de estos cinco matemáticos. Curiosamente, el triángulo de Reuleaux tiene aplicaciones prácticas desde hace mucho tiempo. De hecho, se utiliza en la punta de algunas brocas, púas de guitarra y tuercas. Y en dimensiones superiores, según Andrii Arman, uno de los matemáticos que han participado en esta investigación, los cuerpos de anchura constante podrían resultar útiles para desarrollar métodos de aprendizaje automático ideales para analizar conjuntos de datos de alta dimensión (se trata de datos que dependen de un gran número de variables). Gracias a este trabajo los matemáticos que investigan en esta área por fin van a poder acceder a un lugar de la geometría que hasta ahora resultaba inalcanzable. Esta es, en realidad, la mejor noticia de este artículo.

Imagen | Ramona Trusheim

Más información | arXiv | Quanta Magazine

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