Dos matemáticos han resuelto un rompecabezas de números primos que parecía imposible descifrar

Los números primos tienen mucho encanto. Lo tienen, al menos, para muchos matemáticos a los que les resultan indiscutiblemente atractivos. Al fin y al cabo son muy especiales. Un brevísimo repaso por si hay alguien un poco despistado: los números primos son enteros mayores que 1 que únicamente son divisibles por 1 y por sí mismos. Eso es todo. El 2, el 3, el 5, el 7 o el 11 son números primos, entre muchos otros. Dicho así no parecen gran cosa, pero, en realidad, son muy importantes. Y lo son debido a que tienen propiedades relativamente exóticas.

La más evidente de todas ellas es que son infinitos, pero, además, algunos son gemelos porque están separados por 2 (como el 3 y el 5 o el 11 y el 13); su distribución parece irregular, aunque no lo es; o pueden adoptar formas especiales, como, por ejemplo, los números primos de Mersenne o los de Fermat (no vamos a indagar en ellos para no complicar innecesariamente este artículo). Sea como sea estos números son los auténticos protagonistas de una historia que nos ha cautivado. Esperamos que a vosotros, nuestros lectores, os resulte tan interesante como a nosotros.

Los investigadores ya conocen un poco mejor dónde "viven" los números primos

Los matemáticos coquetean con estos números desde hace siglos. Incluso los más grandes se han dejado seducir por ellos. Unos 300 años a. C. el matemático griego Euclides demostró que existen infinitos números primos, y desde entonces una infinidad de matemáticos se ha propuesto averiguar con la máxima precisión posible cómo se distribuyen a lo largo de la recta numérica. Han pasado más de dos milenios, y sí, ahora conocemos mejor que nunca cómo encontrarlos y cuáles son sus propiedades, pero esto no significa que ya esté todo el trabajo hecho.

Para los matemáticos la búsqueda de una regla que permita describir cómo se distribuyen se ha transformado en un auténtico rompecabezas. Un rompecabezas con milenios de antigüedad. Afortunadamente, Ben Green, de la Universidad de Oxford (Inglaterra), y Mehtaab Sawhney, de la Universidad de Columbia (EEUU), han conseguido demostrar que hay un tipo muy desafiante de números primos que satisface una restricción rigurosa. Este tipo de demostraciones no son en absoluto frecuentes, y esta en particular se ha consolidado como una aportación muy importante que permite a los matemáticos conocer mejor los números primos.

Green y Sawhney han publicado su demostración en el repositorio de acceso abierto arXiv, y en cierto modo es una obra de arte. Una obra de arte en el ámbito de las matemáticas. Su punto de partida cuando decidieron embarcarse en la aventura que ha concluido con la publicación de su artículo científico fue la conjetura de Friedlander e Iwaniec. Estos dos matemáticos de la Universidad Rutgers, en Nueva Jersey (EEUU), se preguntaron en 2018 si existen infinitos números primos que pueden describirse mediante la ecuación p² + 4q², donde tanto p como q también deben ser primos.

A Green y Sawhney les pareció acertadamente que contar de forma directa todos los números primos que satisfacen esa condición era inabarcable, pero se dieron cuenta de que si flexibilizaban un poco ese requisito podrían resolver este problema. Y lo hicieron asumiendo que los números al cuadrado únicamente tenían que ser aproximadamente primos. Los primos aproximados son más fáciles de localizar que los primos normales. Y es que no son números primos en el sentido tradicional debido a que basta que no sean divisibles por los primos más pequeños para poder trabajar con ellos. Incluso aunque, en realidad, no sean primos.

Los matemáticos suelen trabajar con este tipo de simplificaciones para poder abordar desafíos que parecen irresolubles, y no hay ningún problema siempre y cuando expliquen bien qué es lo que han hecho. "Los primos aproximados son un conjunto que entendemos mucho, mucho mejor", asegura Sawhney. Y tanto. Tomándolos como punto de partida Ben Green y Mehtaab Sawhney han conseguido resolver la conjetura de Friedlander e Iwaniec.

En este artículo nos interesa conocer la historia de estos dos matemáticos y repasar por qué los números primos tienen tanto encanto, y no tanto los pormenores de su demostración. Si no os intimidan las matemáticas os sugiero que echéis un vistazo al artículo de Green y Sawhney, aunque, afortunadamente, no es necesario entenderlo para intuir qué hace tan especiales a los números primos.

Imagen | Pixabay

Más información | arXiv | Quanta Magazine

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