El infinito es aún más asombroso de lo que imaginábamos. Hay más de uno y pueden redefinir la estructura de las matemáticas

Todos tenemos de forma intuitiva una idea más o menos certera acerca de qué es el infinito. ChatGPT nos propone una definición bastante apegada a la aproximación con la que probablemente la mayor parte de nosotros se siente cómoda: "El infinito es una idea que describe algo que no tiene fin o límite. Es como imaginar algo que sigue y sigue para siempre, sin detenerse nunca [...] Aunque no podemos ver el infinito, lo usamos para pensar en cosas que son muy grandes o interminables".

Si nos ceñimos al dominio de las matemáticas es interesante que no pasemos por alto que en el ámbito de los números siempre podemos sumar uno más, por lo que nunca llegaremos a alcanzar un valor máximo por encima del cual no hay ningún otro número. Siempre tendremos un número mayor si continuamos sumando uno. Sin embargo, y aquí llega un giro sorprendente, los matemáticos se dieron cuenta hace más de un siglo de que hay más de un tipo de infinito.

Es posible construir conjuntos de infinitos cada vez mayores

A finales del siglo XIX, en 1878, el matemático alemán, aunque de origen ruso, Georg Cantor demostró por primera vez que el conjunto infinito que incorpora los números reales, y que, por tanto, incluye números negativos y decimales, es más grande que el conjunto infinito de los números naturales o enteros. Esta idea es bastante intuitiva, pero, sin embargo, como no es posible contarlos todos Cantor tuvo que elaborar una comparación muy meticulosa de ambos conjuntos.

Si reparamos un momento en la idea que acabamos de explorar nos daremos cuenta de que acabamos de llegar a la conclusión de que hay más de un infinito. Como acabamos de ver, el infinito vinculado a los número reales es mayor que el infinito asociado a los números naturales. Este hallazgo permitió a los matemáticos darse cuenta de que podían construir conjuntos de infinitos cada vez mayores, creando, de esta forma, una escala jerárquica de conjuntos infinita.

Para los matemáticos el concepto de infinito es muy interesante, lo que ha invitado a algunos de ellos a continuar investigando para conocer cada vez un poco mejor sus propiedades. De hecho, un grupo de investigadores de la Universidad de Viena (Austria) propone dos nuevos tamaños de infinito a los que han llamado cardinales exactos y ultraexactos. Lo más sorprendente es que estos "nuevos" infinitos no obedecen las reglas que describen los infinitos que se conocían hasta ahora.

Estos matemáticos han recogido su trabajo en un interesantísimo artículo disponible en el repositorio de acceso abierto arXiv. Juan P. Aguilera, uno de los investigadores que han participado en este estudio, ha explicado que "estos dos nuevos tamaños de infinito no encajan del todo bien en la jerarquía lineal. Interactúan de una manera muy extraña con otras nociones de infinito". Estamos coqueteando con ideas muy abstractas, es verdad, pero no cabe duda de que el descubrimiento que han hecho estos matemáticos es apasionante.

De hecho, han definido estos dos conjuntos haciéndolos tan grandes que contienen copias matemáticamente exactas de toda su estructura. De alguna manera podemos considerar que en el reino de los infinitos gobiernan los dos recién descubiertos. No obstante, esto no es todo. Según Philipp Lücke, otro de los matemáticos que han participado en esta investigación, si la comunidad matemática acepta finalmente los cardinales exactos este descubrimiento "sugeriría de forma contundente que reina el caos". Y, como consecuencia, respaldará la existencia de un nuevo tipo de infinito asombroso.

Imagen | Frank Cone

Más información | arXiv

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