Se suele confundir el azar (y/o la suerte) por la intuición. Es normal, al fin y al cabo, si un resultado parece improbable, lo primero que pensamos es que estamos ante un hecho insólito y, por tanto, con alto grado de “suerte”. Pongamos como ejemplo la lotería. La idea de que un resultado de uno entre catorce millones aparezca dos veces en el lapso de cuatro días puede parecer, como mínimo, poco probable. Y sin embargo, ha ocurrido más de una vez y tiene una explicación.
El caso de Bulgaria. Año 2019, se inicia una amplia investigación para averiguar cómo demonios era posible que la lotería de Bulgaria diera los mismos números ganadores de una semana (4, 15, 23, 24, 35 y 42) y fueran las mismas cifras que se dieron cuatro días antes en el mismo certamen.
Lo cierto es que el gobierno, ante el clamor popular, inició las pesquisas para confirmar si hubo o no algún tipo de manipulación, pero nunca se encontró ninguna irregularidad. No fue un caso único.
La repetición de Canadá. Esta historia no lleva hasta los funcionarios de Canadá y la misma paradoja. Se dio cuando decidieron devolver el dinero de premios sin reclamar que habían acumulado de sus millones de abonados. ¿Qué hicieron? Compraron 500 coches y con un ordenador generaron 500 números de forma aleatoria.
De esta forma, los que tuvieran aquel número se llevarían el coche. La sorpresa llegó cuando los funcionarios publicaron la lista y resultó que había un número repetido. Sí, el galardonado reclamó los dos coches y se los dieron. ¿Cómo demonios era posible que hubiera un número repetido? Tampoco fue un caso único.
La lotería alemana. Fue un 21 de junio de 1995 en Alemania. La serie de números que había salido era idéntica a la que salió el 20 de diciembre de 1986. Era la primera vez que en 3.016 sorteos pasaba algo similar. ¿Qué o quién juega de esta forma con el azar?
La respuesta la tiene una paradoja que, como veremos, tiene mucho de matemáticas.
La paradoja del cumpleaños. Para entender esta certeza matemática que se da en todos los ejemplos anteriores debemos retroceder a su formulación sencilla bajo la siguiente pregunta: ¿Qué grande debe ser un grupo de personas para que haya una probabilidad mayor que el 50% de que dos de ellas compartan cumpleaños?
Seguramente, lo primero que pensamos de forma intuitiva es que las posibilidades son muy bajas, pero si hacemos el cálculo sale 50,7%, lo que va totalmente en contra de la intuición. La respuesta y la cifra mágica es de tan solo un grupo de 23, y es sorprendente porque muestra cómo en un grupo pequeño es probable que dos personas compartan el día señalado.
¿Qué? Imagina que estás en una fiesta con 23 personas. Aunque hay 365 días en un año, la probabilidad de que dos personas tengan el mismo cumpleaños no es tan baja como podrías pensar. Cada nueva persona en el grupo tiene varias oportunidades de coincidir con los demás. Por ejemplo, la primera persona no tiene a nadie con quien coincidir, la segunda tiene una posibilidad, la tercera tiene dos, y así sucesivamente. Al final, hay tantas combinaciones posibles que la probabilidad de coincidencia se vuelve alta rápidamente.
En números, con 23 personas, hay 253 pares posibles que podrían compartir cumpleaños. Aunque la posibilidad de que un par específico coincida es baja, la cantidad de pares hace que la probabilidad total sea aproximadamente del 50%. Esto parece paradójico porque nuestra intuición subestima cuántas oportunidades hay realmente para una coincidencia.
Fórmula matemática de la paradoja
Cómo se calcula. Buscando que todas las fechas de nacimiento de esas personas sean diferentes. Veamos: una determinada persona tiene una fecha particular de nacimiento. La probabilidad de que una segunda persona no coincida con la primera es de 364/365. Para que una tercera persona no coincida con las dos anteriores, la probabilidad es 363/365 y así sucesivamente hasta esos 23 términos.
Si ampliamos ese cálculo a 23 personas, obtenemos una probabilidad de que no haya dos personas que compartan el mismo cumpleaños de 0,49, lo que hace que la probabilidad de que al menos un par lo haga sea de 0,51 (o un poco más de la mitad).
Dicho de otra forma, la fórmula matemática de la paradoja del cumpleaños se usa para calcular la probabilidad P ( n ) de que al menos dos personas en un grupo de n personas comparten el mismo cumpleaños. En la fórmula, cada fracción representa la probabilidad de que una nueva persona no comparta su cumpleaños con las personas anteriores, y al multiplicarlas se obtiene la probabilidad de que nadie comparta cumpleaños. Luego, se resta de 1 para encontrar la probabilidad de que al menos dos personas coincidan.
Explicando el caso búlgaro. Ahora que hemos formulado la paradoja, vamos a finalizar explicando el primer caso de la lotería en Bulgaria. Se trataba de una selección aleatoria de seis números de un grupo de 49 y los funcionarios de la lotería dijeron que era imposible manipular las máquinas. Los sorteos "se llevan a cabo en presencia de un comité especial y se transmiten en directo por la televisión nacional, lo que garantiza que no haya trampas", dijeron. Eso hace que cualquier conjunto dado de seis números sea una ocurrencia de una en 13.983.816: el resultado de un cálculo combinatorio expresado como (y pronunciado) "49 elige 6".
Dada la selección del 6 de septiembre (4, 15, 23, 24, 35 y 42) las probabilidades de que esa combinación exacta ocurra nuevamente serían, extremadamente improbables. Pero al igual que con la paradoja del cumpleaños, esa no es la pregunta que deberíamos hacernos. La cuestión sería: ¿qué pasa con la probabilidad de que coincidan algunos/dos sorteos entre tres sorteos? ¿O la probabilidad de que coincidan algunos/dos sorteos entre 50 sorteos?.
La solución. Como explicaba el estadístico David Hand, profesor emérito de matemáticas e investigador principal del Imperial College de Londres, “después de todo, en tres sorteos de lotería hay tres formas posibles de que dos de ellos coincidan. En cuatro sorteos hay seis pares posibles; en cinco sorteos hay diez. Cuando se llega a 50 sorteos, hay 1.225 pares posibles, y con 1.000 sorteos, hay 499.500 formas posibles de que dos conjuntos de números coincidan”.
Eso aumenta mucho las probabilidades, ya que cuando se han realizado 4.404 sorteos, es más probable que dos sorteos coincidan exactamente qué no, y como señala Hand, "si se producen dos sorteos cada semana, lo que suma 104 en un año, esta cantidad de sorteos tardará menos de 43 años".
Dicho así, no es tan sorprendente que haya sucedido una vez hace 15 años, o, de hecho, que haya sucedido también en tantas otras ocasiones. "Cuando tenemos en cuenta el número de loterías en todo el mundo, vemos que sería sorprendente que los sorteos no se repitieran ocasionalmente", zanja el investigador.
Por supuesto, que haya ocurrido en un lapso de cuatro días es un hecho más singular.
Imagen | Santeri Viinamäki, Ian Barbour, dominio público
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