El cuaternión está más vivo que nunca: así es como la NASA y los videojuegos lo usan más de un siglo después de su descubrimiento

Había llovido a cántaros aquella mañana del 16 de octubre de 1943, así que cuando escampó Sir William Rowan Hamilton se terminó su whiskey -de whisky nada, que para eso era irlandés- y le dijo a su frágil mujer que si salían a dar una vuelta por Dublín. Llevaba años trabajando en un problema matemático relacionado con los números complejos sin éxito, y decidió que era buena idea airearse.

Eso hizo. Pasearon, hablaron del futuro de sus hijos y mientras cruzaban el Broom Bridge a Sir William se le encendió la bombilla de repente. "¡Helen!", exclamó, "¡no necesito multiplicar tripletas: puedo usar cuádruplos!". Helen no se enteraba de nada, claro, pero en aquel momento nacieron los cuaterniones, una extensión de los números reales que más de un siglo u medio después son críticos para las misiones espaciales de la NASA y también para la industria de los videojuegos. Bien por Sir William.

Digno sucesor de Sir Isaac Newton

Sir William Rowan Hamilton (Dublín, 1805-1865) despuntó desde la niñez. A los trece años ya hablaba varios idiomas europeos, pero también persa, árabe, sánscrito o malayo. Cuando tenía 8 años su fama ya era notable, y la gira del prodigio americano del cálculo, Zerah Colburn, le dio la oportunidad de probar su brillantez. Aquel niño estadounidense de 9 años le aplastó en una prueba de aritmética mental, y al pequeño Hamilton aquello le señaló el camino. Seguiría estudiando idiomas, pero a lo que quería era dedicarse a las matemáticas.

En 1823 aquel joven logró el primer puesto entre 100 candidatos en los exámenes del Trinity College. La prestigiosa universidad irlandesa pronto descubrió la brillantez de Hamilton, que ya en su época de estudiante escribió parte de su tratado sobre óptica, la conocida "Teoría de los Sistemas de Rayos".

Aquello fue clave para que en 1827 acabara ocupando el puesto de Astrónomo Real de Irlanda, una cátedra bien pagada y que era inaudito que acabara en manos de un subgraduado. No solo eso: le daba a Hamilton la oportunidad de investigar con total libertad, algo que no hubiera podido hacer en un hipotético puesto de profesor del Trinity College.

Su trabajo en el campo de la óptica acabaría mezclándose con el de la dinámica y el álgebra en la década de 1830. Su trabajo con varios colegas le llevó a perseguir un objetivo muy especial: intentar generalizar los números complejos con el fin de representar rotaciones y movimientos de vectores en el espacio tridimensional. Si lo lograba, contaría con una herramienta muy potente para formular las leyes básicas de la física y describir el movimiento de cuerpos rígidos en el espacio.

En 1833 presentó un artículo a la Real Academia Irlandesa en el que definía operaciones de suma y maltiplicación de parejas de números reales. Fue el primer matemático en tratar los números complejos como pares ordenados -Gauss lo había hecho antes, pero sin publicar sus descubrimientos- y su visión estaba muy relacionada con la física.

Para tratar de avanzar en ese campo, Hamilton trató de estudiar lo que llamó la "Teoría de las Tripletas", números hipercomplejos referidos al espacio tridimensional del mismo modo que los números complejos se referían al espacio de dos dimensiones.

Fue aquello lo que le llevó al descubrimiento de los cuaterniones. Las tripletas no guardaban las propiedades comunes de los números complejos al intentar multiplicarlas y su obsesión con el problema era tal que hasta sus hijos acabaron preguntándole todas las mañanas lo mismo: "Bueno papá, ¿puedes ya multiplicar tripletas?", a lo que él contestaba: "no, por ahora solo puedo sumarlas y restarlas".

Y entonces llegó aquel paseo. Hamilton describiría aquel momento feliz de descubrimiento repentenino en una carta a uno de sus hijos quince años después de que ocurriera:

"Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgieron a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuandome encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, yllegamos al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito galvánico del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde entonces.

Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo intelectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos i, j, k:

i²=j²=k²=ijk=−1

que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como inscripción.

Hamilton llamó a un cuádruplo con esas reglas de multiplicación un cuaternión, y dedicó el resto de su vida a estudiarlos, desarrollarlos y a enseñárselo a estudiantes y académicos.

Cuaterniones en el espacio, cuaterniones en los videojuegos

El estudio de los cuaterniones ha derivado en otros muchos descubrimientos matemáticos, pero su aplicación ha sido sorprendente más de un siglo y medio después de aquel paseo.

De hecho los cuaterniones se utilizan en computadoras de vuelo o en estudios de simulación en los que están involucrados grandes cámbios en el ángulo a la hora de monitorizar la altitud de la nave espacial.

El uso de los cuaterniones elimina problemas como la singularidad de Euler y permite utilizar tan solo cuatro parámetros, además de ser ideales para control digital de errores.

De hecho los llamados cuaterniones unitarios permiten contar con una notación matemática para representar las orientaciones y las rotaciones de objetos en tres dimensiones, y por ello son ampliamente utilizados en robótica o navegación mecánica orbital de satélites y se usan en misiones de la NASA desde hace décadas.

Esa misma capacidad de representar rotaciones en el espacio es clave para el desarrollo de videojuegos 3D e incluso la animación: varios motores hacen uso de estos sistemas para representar esas rotaciones y llevarlas al mundo virtual con precisión.

Insistimos. Bien por Sir William.

Más información | Historias de Matemáticas - Hamilton y el descubrimiento de los Cuaterniones (PDF)