La transformada de Fourier es una operación matemática fundamental para algunas disciplinas como las telecomunicaciones o la física. Sin ella no existirían las telecomunicaciones modernas, no solo Internet o la telefonía móvil, sino la propia telefonía convencional, que no habría podido evolucionar más allá de una forma de comunicación local y no habrían existido las llamadas de larga distancia.
Aunque esta operación matemática debe su nombre al matemático Joseph Fourier, lo cierto es que muchos han contribuido a su invención, entre ellos Euler, Bernoulli, Lagrange y Gauss. Fourier tuvo un papel esencial, al inventar las series de Fourier, donde una función periódica se podía descomponer en la suma de funciones trigonométricas. La transformada de Fourier generaliza este concepto.
El problema de esta transformada es que las matemáticas detrás de ella son bastante avanzadas. Solo hay que echar un vistazo a la expresión matemática para visualizar todo lo que hay detrás. La voy a poner aquí pero también adelanto que a lo largo de este artículo veremos una explicación sencilla, tanto del concepto como de las matemáticas detrás de ella:
La transformada de Fourier, aplicaciones
Sin entrar a valorar las matemáticas detrás de ellas, lo que permite la transformada de Fourier es convertir cualquier función matemática a otro domino, denominado el dominio de la frecuencia. Esto facilita tratar y analizar las funciones de una forma alternativa. Como es muy genérico vamos a poner algún ejemplo.
Un ingeniero de sonido puede tener una grabación de audio con mucho ruido, por ejemplo porque había un pitido en el ambiente. Estos ruidos muchas veces pueden eliminarse, pero para ello habría que separar la parte del sonido deseada y la que se quiere eliminar. Esta separación muchas veces es imposible por métodos convencionales, ya que la señal que se tiene está ya sumada, y sin saber una de las partes es imposible eliminar la otra.
Sin embargo con la transformada de Fourier se puede ver la señal en el dominio de la frecuencia, es decir, descomponiendo la señal en las distintas frecuencias que la componen (los sonidos graves y agudos). Viendo la señal en este dominio es posible que el ruido, que puede tener solo algunos componentes frecuenciales, se vea claramente separado, y por tanto se pueda filtrar, y volver de nuevo al domino temporal, teniendo así una señal limpia de ruido.
En telecomunicaciones pasa algo parecido. Se pueden transmitir señales en el aire a través de ondas electromagnéticas separándolas en distintas frecuencias. Esto permite utilizar todo el espectro radioeléctrico para transmitir señales y poder tener así en el aire señales de radio, televisión, telefonía móvil y wifi (por ejemplo) en un ambiente dado pero que cada aparato electrónico escuche lo que necesita. Todos los aparatos electrónicos tienen elementos que son capaces de elegir las frecuencias que necesitan y esto es gracias al desarrollo matemático de la transformada de Fourier.
La transformada de Fourier de forma sencilla
Está claro que las aplicaciones de la transformada de Fourier son múltiples, pero aún así la expresión matemática es bastante complicada. El Youtuber '3Blue1Brown' ha creado un vídeo de 20 minutos impresionante, en el que se explica de forma gráfica lo que significa la transformada. Pero no se queda únicamente en lo dicho anteriormente, sino que llega a explicar de manera muy sencilla lo que significa la integral aparentemente tan complicada que vimos al principio.
Son 20 minutos muy intensos e interesantes que permiten visualizar de una forma gráfica lo que significa la transformada de Fourier y cómo se logra a través de ella separar las componentes frecuenciales de una función. Es como la magia de lograr separar los colores de una mezcla. Podéis verlo a continuación:
Básicamente lo que explica el vídeo es lo siguiente: primero, que las funciones (que pueden ser magnitudes físicas como ondas de sonido) se pueden descomponer en sumas de funciones trigonométricas (senos y cosenos). El problema es que separarlas no es fácil. El ejemplo que pone es realmente bueno: si mezclas dos pinturas obtienes un nuevo color, pero a partir de esta mezcla es imposible obtener los colores originales.
Lo siguiente que explica es una forma gráfica de representar las funciones en un plano xy, de forma que podamos ver en los siguientes pasos lo que es la transformada de Fourier. Y es que la transformada de Fourier es buscar el centro de masa de esta representación xy.
La clave está en que la representación xy se puede hacer de muchas formas (enrollando más o menos la función) pero cuando se hace a un ritmo similar a la frecuencia fundamental que contiene la función, este centro de masa se desplaza, dando un máximo en la representación frecuencial. Explicarlo en palabras es difícil, pero la claridad del vídeo es asombrosa.
Por último, el vídeo es capaz de relacionar esta representación gráfica de compactar una función en un plano xy con la fórmula comentada al principio que representa la transformada de Fourier.
El vídeo merece mucho la pena e incluso gente que ha trabajado con ella han visto la luz y entienden mucho mejor lo que significa esta expresión gracias al mismo. Espero que os resulte tan clara como a tantos otros.
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