Que un folio DIN A4 mida 210 x 297 mm tiene poco de casualidad y mucho de matemáticas

Llevámos usándo folios en formato DIN A4 décadas, y seguramente muchos de vosotros os hayáis hecho la misma pregunta de cuándo en cuándo: ¿por qué un folio DIN A4 mide 210 x 297 mm? ¿Por qué no otras dimensiones más "redondas"?

De hecho uno podría pensar que sería mucho mejor acabar usando folios de, por ejemplo, 200 x 300 mm para dejarlo todo más sencillo. Quizás lo sería para recordar esas dimensiones, pero entonces el folio DIN A4 no sería tan perfecto. Y lo es gracias a las matemáticas.

La magia de mantener la "relación de aspecto"

Si uno coge cualquier trozo de papel que no sea un folio convencional en algún formato DIN se encontrará con una situación curiosa. Lo podrá doblar sin problemas, pero al hacerlo esas mitades ya no tendrán el formato del papel original. Serán más rectangulares o más cuadradas, pero no conservarán la "relación de aspecto" del papel original.

Precisamente ese es el secreto del formato DIN A4, y ahí es donde entran las matemáticas. En 1786 una carta del académico alemán Georg Christoph Lichtenberg a Johann Beckmann —que acuñó la palabra 'tecnología', ahí es nada— formuló la idea de usar un formato de papel que se pudiera conservar al doblarlo (o expandirlo proporcionalmente).

No fue hasta principios del siglo XX que Alemania logró estandarizar la idea. Ahora ese estándar se conoce como ISO 216, y define el tamaño de papel estándar a nivel internacional en casi todo el mundo. ¿Cómo se definió ese estándar?

Pues con un solo objetivo: el de que la relación de aspecto se mantuviese, y aquí es donde una sencilla operación matemática permitía resolver el problema. Como explicaba el matemático Ben Sparks, uno puede dibujar un rectángulo con relación de aspecto x:1. Si uno divide el rectángulo por la mitad, el nuevo rectángulo tendrá una relación de aspecto de 1:x/2.

Si uno aplica las matemáticas y quiere que ambas relaciones de aspecto sean iguales, basta con resolver la ecuación x/1 = 1/(x/2), que al final hace que se obtenga como resultado que x = √2.

Así pues, esa es la única solución para mantener la relación de aspecto. Como no hay un par de números enteros que permitan obtener una relación de aspecto √2, se usan aproximaciones. Unas aproximaciones que, eso sí, parten de un número casi perfecto.

Así, el papel A0 (DIN A0) usa esa relación de aspecto y tiene 1 m² de área. O casi, porque sus dimensiones (1.189 x 841 mm) se acercan bastante a ese área tan "redonda" (999.949 mm²).

A partir de ahí doblamos el A0 varias veces (una, dos, tres, cuatro,cinco, ...) para obtener sucesiva y respectivamente papel A1, A2, A3, A4 o A5, etc., que tienen dimensiones que son la mitad del formato anterior, y que, por supuesto, mantienen la relación de aspecto. Magia. O matemáticas, mejor dicho.

Hay alguna que otra curiosidad asociada a esa relación de aspecto. La primera, que el peso del papel se puede calcular fácilmente: si se usa papel de 80 gsm (gramos por metro cuadrado), un folio A0 pesará exactamente 80 gramos. Un folio A4 con esa densidad pesará 5 g (porque hemos doblado —dividido— el A0 cuatro veces).

La segunda, que los grosores de los rotuladores técnico suelen también verse incrementados manteniendo esa relación de √2, o lo que es (casi) lo mismo, de 1,4. De ese modo el siguiente grosor de un rotulador será el adecuado para dibujar en el siguiente tamaño de papel.

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