La hipótesis de Riemann. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Las ecuaciones de Navier-Stokes. El problema P versus NP. La existencia de Yang-Mills y del salto de masa. La conjetura de Hodge. ¿Qué tienen en común esta retahíla de enunciados matemáticos?
Que nadie sabe cómo resolverlos, mucha gente lo ha intentado sin éxito y conseguirlo implica ganar un millón de dólares (más de 810.000 euros). Así son los conocidos como problemas del milenio, una serie de desafíos que llevan mucho tiempo esperando a que alguien encuentre la clave millonaria de su resolución.
Fue en el año 2000, Año Mundial de las Matemáticas, cuando el Instituto Clay de Matemáticas (EE. UU.) seleccionó los siete resultados que, a su juicio, despuntaban por dificultad y relevancia. Su resolución está muy lejos de ser trivial, así que, como premio para animar a los investigadores, se estableció esa cuantiosa suma. Por si fuera poco, el genio que lo logre también gana automáticamente la Medalla Fields, que concede la Unión Matemática Internacional a falta de un Nobel de la disciplina que premie méritos matemáticos.
Grigori Perelman no quiso aceptar el millón de dólares ni la Medalla Fields que le correspondían tras resolver uno de los problemas del milenio.
En estos 18 años, solo uno de estos desafíos ha sido resuelto: en 2003, el matemático ruso Grigori Perelman hizo que la conjetura de Poincaré, relacionada con la clasificación de esferas de más de tres dimensiones, dejara de ser conjetura para convertirse en teorema, en una verdad universal. Perelman no aceptó ninguno de los dos premios, sorprendiendo a toda la comunidad matemática.
Pero ¿qué es lo que hace tan interesantes a estos enunciados? ¿Qué implicaría su resolución? Y la pregunta del millón: ¿por qué son tan difíciles de demostrar? Estos son los seis problemas que quedan sin resolver explicados por seis expertos.
El santo grial de las matemáticas: la hipótesis de Riemann (1859)
“Al gran matemático alemán David Hilbert una vez le preguntaron si la hipótesis de Riemann era el problema más importante de las matemáticas; él contestó que no, que era el problema más importante en general”. El catedrático de la Universidad de Murcia Víctor Jiménez recuerda esta anécdota para ilustrar la trascendencia casi sobrenatural de este resultado relacionado con los números primos, que Hilbert incluyó en su lista de los 23 problemas más importantes para el siglo XX durante su conferencia en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 en París (Francia).
Un número primo es aquel que solo puede dividirse por él mismo y por el uno; por ejemplo, el 13, el 73 y el 9419. Se utilizan en multitud de aplicaciones, como en seguridad para codificar información. El problema es que no hay ninguna pauta reconocible que los gobierne. “Son como los átomos de los que se componen los números, pero no tienen una tabla periódica en la que estén ordenados. Todos los grandes matemáticos han estado enredados con ellos pero nadie ha encontrado una fórmula, si es que existe, para generarlos”, especifica Jiménez.
Fue el matemático alemán Bernhard Riemann quien, de alguna manera, introdujo un orden dentro de ese aparente caos. “Definió lo que ahora llamamos la función zeta de Riemann y estudió sus ceros (donde la función se anula). Descubrió una maravillosa correspondencia entre esos ceros y los números primos”, explica Jiménez. Una conexión demasiado técnica: rigurosamente, lo que Riemann conjeturó fue que la parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½.
Muchos han intentado probar esta conjetura sin éxito. Quien más cerca ha estado es Xavier Gourdon, que en 2004 la verificó numéricamente para los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función. Pero la función tiene infinitos ceros, así que para demostrarla se requiere de un razonamiento teórico.
Más allá de su aplicación práctica, Jiménez tiene clara su relevancia: “Los que amamos las matemáticas admiramos su armonía y perfección, además de su utilidad. Si este resultado fuera verdad, sería como una especie de Himalaya de la belleza; si no, nos sentiríamos casi traicionados. La hipótesis de Riemann es nuestro santo grial”.
Una idea revolucionaria: la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (1965)
Las curvas elípticas son un tipo de función matemática que tiene dos variables y grado 3. Tienen muchas aplicaciones en criptografía, teoría de códigos e informática, pero la estructura de sus soluciones (los pares de valores x e y que verifican la ecuación) sigue siendo una suposición.
Ejemplo de dos curvas elípticas y su representación gráfica.
“La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer da una receta para entender la geometría de dos puntos de esa curva en términos de una cierta función analítica compleja”, explica el profesor de la Universidad Politécnica de Cataluña Víctor Rotger.
Su dificultad reside en que establece una conexión entre dos ramas de las matemáticas muy distintas que hablan lenguajes diferentes: el álgebra y el análisis. “La conjetura es muy interesante a nivel matemático porque, si se pudiera demostrar, tendería un misterioso puente entre dos mundos aparentemente muy alejados: el de la geometría aritmética y el de las funciones complejas analíticas. Para los matemáticos es como decir que una pera es una manzana. ¿Cómo relacionas una cosa con la otra?”, se pregunta Rotger. “Hace falta una idea revolucionaria”.
De momento, el medallista Fields Manjul Bhargava ha demostrado que hay más de un 50% de las curvas elípticas para las cuales es cierto. “Nadie duda de que sea verdadera, pero estamos lejos de demostrarlo. Sería un avance espectacular”, asegura Rotger.
Fluidos y torbellinos: las ecuaciones de Navier-Stokes (siglo XIX)
¿Podemos prever cómo se va a propagar un fuego? ¿Si lloverá o no mañana? ¿Cómo se mueve el agua en una inundación? La rama de la física que estudia estos fenómenos se conoce como mecánica de fluidos, y detrás de ella hay matemáticas. “Las ecuaciones de Navier-Stokes modelizan el movimiento de un fluido que tiene viscosidad y rozamiento y, a partir de unas condiciones iniciales, describen la trayectoria de sus partículas”, sintetiza el investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) Daniel Peralta.
Lo que no se ha demostrado es si este modelo tiene siempre solución ni si está matemáticamente bien definido. “Aquí entran en juego las singularidades, que físicamente se pueden entender como los torbellinos que se crean en un fluido como el agua”, explica Peralta. “La cuestión es saber si, durante la evolución del fluido, se dan esas singularidades”. Su aparición implica la formación de la llamada turbulencia, como la que se da durante el vuelo de los aviones; una característica que trae de cabeza a los científicos.
La dificultad de su demostración se debe a la no linealidad. “Hay un término no lineal en las ecuaciones que representa cómo se comporta el fluido consigo mismo, cómo arrastra sus propias partículas. Esa variable es muy complicada”, indica el investigador.
Para resolver el enigma, habría que analizar las ecuaciones sin resolverlas y demostrar que las singularidades no aparecen, o encontrar un ejemplo que sí las tenga, lo que “podría ser muy difícil o imposible si este no existe”, según Peralta. Mientras, variaciones de estas ecuaciones se usan en meteorología, en la propagación de incendios, para entender las corrientes marinas e incluso en efectos especiales.
La informática del futuro: el problema P versus NP (1971)
El problema P versus NP habla, en sí mismo, de problemas. Más en particular, de los algoritmos que los solucionan. “P representa los problemas que tienen un algoritmo que los resuelve rápido, y NP los que tienen un algoritmo que comprueba de manera eficiente que una cierta respuesta es solución”, desgrana el investigador de la Universidad de Toronto Fulgencio López. Fácil de encontrar contra fácil de comprobar.
Por ejemplo, averiguar la contraseña de una caja fuerte es un problema NP: es muy sencillo comprobarlo cuando se tiene la solución (basta introducir el código), pero es muy lento obtener la clave (hay infinidad de combinaciones posibles).
La pregunta es: ¿P = NP? Un lado de la igualdad está claro, porque si la solución se encuentra fácilmente, también se verifica rápido. El otro contenido, que todos los NP también formen parte de P, es lo que queda por demostrar. “Lo más complicado es definir bien teóricamente qué es un problema NP, porque se necesita una definición autocontenida”, explica López. Con ese obstáculo se topó el medallista Fields Timothy Gowers, que intentó resolver el enunciado y acabó demostrando que su idea no funcionaba.
El problema de que P coincidiera con NP es que los cimientos de la informática temblarían, como explica López: “Se encontrarían algoritmos eficientes para todo, las claves criptográficas se descifrarían de forma muy fácil y se acabaría el blockchain”. Adiós seguridad. Pero “si finalmente se demuestra que P es distinto de NP, los informáticos podrán respirar en paz y no cambiaría casi nada”, añade.
Además, “la demostración en sí misma reflejará aspectos profundos sobre el funcionamiento de los algoritmos y sobre cómo serán los ordenadores del futuro: completamente distintos a los de ahora”, predice el investigador.
Física teórica: la existencia de Yang-Mills y del salto de masa (1954)
En este caso, física y matemáticas se unen para describir las interacciones de las partículas. Es lo que se conoce como teoría de Yang-Mills, una generalización de la teoría del electromagnetismo que ha sido esencial para el estudio de la física nuclear. “El reto planteado busca demostrar rigurosamente la existencia de esta teoría y del salto de masa”, indica el investigador del ICMAT Óscar García-Prada. ¿Qué salto de masa es ese?
Aquí chocan dos situaciones: “Las fuerzas nucleares son de corto alcance, y las partículas responsables de esas interacciones débiles (los bosones) tienen masa; mientras que las fuerzas electromagnéticas fuertes cubren distancias más largas y los fotones que las producen no la tienen”, explica García-Prada. ¿Pueden interaccionar partículas con y sin masa?
Los experimentos y las simulaciones en superordenadores indican que sí existe ese salto, pero Yang-Mills aún no es compatible. La solución a este problema será un paso previo a la teoría de la unificación de la física.
García-Prada cree que, “detrás de la elección de este enunciado como uno de los siete problemas del milenio, hay una llamada de atención a los matemáticos, para que recordemos que hacen falta nuevos resultados para explicar las teorías cuánticas”. De momento, el progreso es pequeño, pero cuando llegue tendrá largo alcance. “Cualquier solución conllevará grandes avances y dará rigor a la teoría cuántica y a su sustrato matemático. El premio debería ser mucho mayor de un millón de dólares”, bromea el investigador.
De agujeros y lazos: la conjetura de Hodge (1950)
Nuestro sexto problema del milenio es la conjetura de Hodge. Esta conecta diversas áreas de las matemáticas, como la geometría algebraica, las ecuaciones diferenciales, la geometría diferencial, la topología y la física matemática. Por eso, entenderla y enfrentarla es muy complicado.
El catedrático de la Universidad Complutense de Madrid Vicente Muñoz explica este desafío de la manera más sencilla posible: “En geometría diferencial se estudian variedades diferenciables, que definen cualquier espacio físico y geométrico curvado. La topología explica cómo esas variedades se distinguen unas de otras por sus ‘agujeros’. Por ejemplo, un balón no tiene ninguno y una rosquilla tiene uno. ¿Cómo son los agujeros de las variedades complejas, las que se construyen sobre los números complejos? Hay de dos tipos, y la conjetura de Hodge dice que, si esos agujeros son del tipo correcto, se deberían rodear con lazos complejos, es decir, con subvariedades complejas”. Bueno, nadie dijo que esto fuera fácil.
“La mitad de los matemáticos piensa que la conjetura es cierta y, la otra mitad, falsa”, estima el catedrático. “Si fuera verdad, facilitaría las construcciones en matemáticas y tendría implicaciones en física teórica y teoría de números. Pero hacen falta nuevas herramientas y nuevas ideas para llegar a la solución; no estamos más cerca de resolverlo que hace 50 años”, concluye Muñoz.
Un universo de problemas por resolver
Los problemas seleccionados por el Instituto Clay se sacaron de un baúl donde hay muchos más enigmas matemáticos sin solución. La conjetura de Collatz, el problema inverso de Galois, la conjetura de Goldbach… Pero si seguimos buscando recompensas económicas, podemos detenernos en la conjetura de Beal. Y entre dólares se mueve la cosa, ya que fue el banquero estadounidense Andrew Beal quien la propuso.
Apasionado de las matemáticas, Beal se inspiró en el último teorema de Fermat, jugó con los exponentes de su enunciado y llegó a la siguiente conjetura: “Si la ecuación xa+yb=zc, para x, y, z tres números enteros positivos y a, b, c enteros positivos mayores que 2 (no necesariamente iguales), tiene solución, entonces x, y, z tienen algún factor primo común”.
El banquero, frustrado por no encontrar la demostración ni un contraejemplo que la negara, ofreció en 1997 una recompensa inicial de 5.000 dólares a quien presentara la solución ante la Sociedad Americana de Mabtemáticas; premio que se fue ampliando año tras año hasta fijarse en 2013 en un millón de dólares.
Otra posibilidad para ganar dinero devanándose la cabeza con matemáticas es entretenerse en buscar nuevos números primos. La Fundación Fronteras Electrónicas (EE. UU.) ofrece 150.000 dólares a la primera persona que encuentre un número primo de al menos 100 millones de cifras y 250.000 dólares al que lo halle de 1.000 millones de cifras. Ahora mismo, el récord está en 23 millones.
El universo de las matemáticas es infinito y, en la odisea de su exploración, toda herramienta es bienvenida. Los expertos coinciden: la maquinaria matemática que se desarrolla para intentar resolver estos problemas abiertos suele ser más importante y trascendental que el problema en sí. Por ejemplo, “el teorema de Fermat no abarca ni un 1% de todo lo que se averiguó durante más 300 años en teoría de números para poder demostrarlo”, indica Muñoz.
Esos son los problemas importantes, los que dan más resultados en el camino que la propia resolución y el premio final. Si no, que se lo digan a Perelman. Él ya ha ganado su puesto en el olimpo de las matemáticas.
Imágenes | Max Pixel, YassineMrabet, Frances M. Roberts, Takashi Hososhima
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